На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS

 

Serenade

 

Harmonica

 

MOMENTUM

 

Microwave Explorer

 

Series IV

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы  

 

ЛЕКЦИЯ 10

ТЕОРИЯ АВТОНОМНЫХ ЦЕПЕЙ.
ОПИСАНИЕ ШУМОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Шумовые свойства схем связаны со случайными процессами – флуктуациями токов и напряжений в схеме. Причины этих флуктуаций пока мы оставляем за скобкой. Мы анализируем шумы как данное.

 

Из-за случайного характера шумовых напряжений и токов во времени мы применяем теорию случайных процессов и используем такие статистические характеристики, как математическое ожидание, или среднее значение и моменты различных порядков, в частности отклонение от среднего значения (дисперсию). В теории вероятностей это называется моментами первого и второго порядка. Хотя если строго, для расчета моментов нужно считать многомерную плотность вероятности.

 

Случайные стохастические изменения напряжений, токов цепи нестационарны, т.е. изменяются во времени, однако среднее значение и дисперсия - это вполне конкретные характеристики, не зависящие от времени, т.е. стационарны и их можно положить в основу анализа.

 

Между случайными источниками имеется в общем случае корреляция, т.е. связь, схожесть случайных процессов, и она, эта связь, считаем, также стационарна.

 

Для описание случайных процессов в узкой полосе широко применяется понятие спектра сигнала. Что такое спектр? Это характеристика распределения мощности сигнала по частоте. Например, у гармонического колебания спектр сосредоточен на одной частоте. Но идеально стабильного источника частоты не бывает. Частота флуктуирует. Поэтому спектр размывается, по закону 1/f вблизи несущей. И более того, здесь уже добавляются тепловые шумы - шумы теплового происхождения.

 

Спектральная плотность (детерминированного и случайного сигнала) рассчитывается как преобразование Фурье функции этого сигнала, показывающее распределение мощности, попадающей в очень узкую полосу частот скользящего окна, и количественно представляет собой спектральную функцию (комплексную, с амплитудой и фазой).

(10.1)

Пример. Спектральная плотность видеоимпульса (от -t /2 до +t /2):

(10.2)

Введя безразмерную переменную w t /2 окончательно получаем спектральную плотность видеоимпульса

Рис. 10.1. Видеоимпульс и его спектральная функция

Другая спектральная характеристика: энергетический спектр - это спектральная плотность энергии сигнала. Измеряется эта характеристика в Ватт/Гц. И связаны плотность и энергетический спектр как .

(Энергетический спектр можно условно назвать спектральной плотностью мощности шума, если речь идет о случайном сигнале.)

Для случайных процессов каждая реализация отличается от другой, поэтому расчет спектральной плотности будет отличаться от реализации к реализации. (Аппарат корреляционных функций полезен при действии нескольких источников шума, поскольку они описывают и автокорреляцию и взаимную корреляцию одновременно).

Зато мы можем записать функцию автокорреляции

(10.3)

автокорреляционная функция случайной спектральной плотности.

Теорема Хинчина. Функция автокорреляции и энергетический спектр стационарного случайного процесса, имеющего нулевое математическое ожидание, связаны между собой преобразованием Фурье.

(10.4)

При t =0 корреляционная функция становится равной дисперсии, т.е. К(t )=, получаем

(10.5)

Дисперсия, таким образом, есть сумма вкладов энергий всех спектральных составляющих.

Если выделить полосу частот, в которой спектральная плотность не меняется, что характерно для белого шума, то можно записать комплексную амплитуду эквивалентного колебания

(10.6)

Если в схеме действуют 2 случайных процесса, между которыми существует какая то связь, например, какие-то источники шума одновременно действуют и на одно и на другое напряжение, то факт их взаимной связи отражается в виде записи

(10.7)

Это взаимный спектр процессов X1 и X2.

Остановимся здесь, чтобы что-то прояснить. Мы пишем X на конкретной частоте jw , хотя подразумеваем спектр, спектральную плотность в полосе D w со средней частотой jw . Когда мы честно берем интеграл для определения комплексных амплитуд спектральных составляющих, мы должны интеграл брать от -бесконечности до +бесконечности. Для отрезка же реализации:

, (10.8)

Вычисляя среднее значение мощности спектральных составляющих при q ® ¥ , и переходя к физической (односторонней по частоте) спектральной плотности, получаем

. (10.9)

А уже от этой спектральной плоскости переходим к комплексной амплитуде.

Отвлечение. Комплексная частота p=s +jw состоит из вещественной и мнимой части. По ней выделяется вещественный сигнал, состоящий из гармонической части и затухающей составляющей.

Формула Эйлера

показывает, что теоретический спектр имеет симметричные частоты относительно нулевой частоты.

Физическая частота - чисто положительная w - она односторонняя, всегда положительная.

Пример1. Пусть стационарный случайный процесс (стационарный - значит его моменты не зависят от времени) x(t) действует на входе цепи с коэффициентом передачи K(jw ). Тогда комплексная амплитуда на выходе Y(jw )

Y(jw )=K(jw ) X(jw ), (10.10)

а для энергетических спектров, которые равны квадрату модуля от спектральных функций, имеем соотношение

(10.11)

(полосы частот, которые фигурируют в формуле S(w ), сокращаются).

В обозначениях комплексных амплитуд это соотношение записывается

. (10.12)

Пример 2. Пусть величина Y линейной цепи является результатом совместного действия двух процессов X1(t) и X2(t). Тогда

, (10.13)

а для плотности физического спектра получим

(10.14)

а соответственно для среднеквадратического значения выходной величины

. (10.15)

Что мы видим в этой формуле? Чтобы получить результат необходимо иметь матрицу взаимных спектральных плотностей:

, (10.16)

 

где знак + означает Эрмитово сопряжение (одновременное сопряжение и комплексное сопряжение).

Эти 2 примера будут основой для наших дальнейших представлений шумящих цепей.

 

Схемы замещения шумящих двухполюсника и четырехполюсника

Возьмем активное сопротивление. Из-за того, что сопротивление находится в окружающей среде, при температуре Т, в нем происходит стохастический процесс , который эквивалентен последовательно включенной шумовой эдс со спектральной энергетической плотностью, определяемой по формуле Найквиста:

, (10.17)

где k=1.38*10-23 Вт/Гц*K- постоянная Больцмана,

h=6.624*10 -34 Дж.с - постоянная Планка.

На радиочастотах hf <<kT, , поэтому спектр тепловых шумов равномерен с частотой (белый шум) и равен

 

. (10.18)

Тогда средний квадрат шумовой ЭДС резистора по (10.5)

(10.19)

Пример Найти эдс и мощность шумящего резистора 1000 Ом при Т=290 К и D f = 106 Гц.

Решение. .

=1.6*10-14 Вт= -108 дБм.

Обратим внимание, что мощность шумящего резистора не зависит от величины этого резистора!

Четырехполюсник. По аналогии с двухполюсником, шумящий четырехполюсник может быть представлен в виде нешумящего четырехполюсника и двух шумовых генераторов, включенных на зажимах ЧП. Рассмотрим эквивалентную схему в системе Y-параметров

 

Рис. 10.2. Автономный шумящий ЧП в системе Y-параметров

Шумовые источники тока включаются в общую систему уравнений, описывающих зависимости между токами и напряжениями на зажимах четырехполюсника

(10.20).

Здесь токи - комплексные амплитуды. Однако в расчетах будет использована матрица спектральных плотностей. Нормированная матрица спектральных плотностей определяется следующим образом:

(10.21).

Эти шумовые параметры называются первичные шумовые параметры шумящих цепей. По размерности это проводимости. Это первичные шумовые параметры в системе Y-параметров.

 

Часто используется система А - параметров. В этой системе имеем следующую связь напряжений и токов

(10.22)

В этой системе, как мы видим, шумовые источники можно выделить в отдельный четырехполюсник, каскадно соединенный с нешумящим четырехполюсником. Поэтому можно предположить, что выражение для коэффициента шума в этой системе параметров будет проще. Ибо коэффициент шума этого каскадного соединения равен коэффициенту шума первого каскада (нешумящий ЧП вклад не дает).

Нормированная матрица спектральных плотностей в этой системе параметров представляет собой:

(10.23)

Итак, описание шумящего четырехполюсника закончено. Теперь нужно “малое”: научиться рассчитывать эти первичные шумовые параметры, и второе: получить формулу для коэффициента шума шумящего четырехполюсника.

Получим выражение для Кш в системе А - параметров. Вспомним определение коэффициента шума.

(10.24)

где Рш.вых - мощность на выходе от всех причин,

Рш.г.вых - мощность шума на выходе, определяемая только мощностью генератора.

Удобство системы А-параметров заключается в том, что коэффициент передачи первого ЧП, в котором сосредоточены шумовые источники, равен 1. Второй четырехполюсник, как нешумящий, не изменяет коэффициент шума в целом (что видно хотя бы из формулы Фрииса).

Рис. 10.3. Шумящий четырехпоюсник в системе А-параметров

Закорачивая зажимы 1-1, определим ток короткого замыкания:

(10.25)

Таким образом, мы находим эквивалентный источник (согласно теореме Тевенина) с этим источником тока и проводимостью YГ.

Возьмем среднеквадратическое значение этой величины:

(10.26)

Тогда мощность на выходе от всех источников пропорциональна , а мощность на выходе только от генератора пропорциональна . Поэтому коэффициент шума равен

. (10.27)

Используя элементы нормированной матрицы спектральных плотностей (10.23), получаем

. (10.28)

Итак, коэффициент шума полностью определяется тремя параметрами Rш , Gш, g . Поскольку g – комплексное число, то всего действительных параметров 4. Из формулы также очевидно, что коэффициент шума зависит от проводимости генератора. Особо отметим шумовое сопротивление Rш , которое используется в системе шумовых параметров программы Touchstone.

 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: июля 17, 2000