На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS

 

Serenade

 

Harmonica

 

MOMENTUM

 

Microwave Explorer

 

Series IV

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы  

 

ЛЕКЦИЯ 19 

ОСНОВЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ СВЧ

 Анализ, синтез, оптимизация, проектирование - эти термины часто и широко используются в литературе, посвященной проектированию СВЧ устройств. Альтернативой анализу - т.е. расчету характеристик устройства по заданной схеме и топологии, является синтез. Синтез - это получение топологии и схемы, а также величин элементов этой схемы по заданной характеристике. Одной из классических и практически важной задачей синтеза является синтез фильтров с заданной частотной характеристикой. Фильтры СВЧ - обычно пассивные устройства, имеющие сложные структуры, на основе волноводов или других линий передачи. Синтезу СВЧ фильтров посвящены несколько следующих лекций.

Определение и критерий пассивности линейной цепи

ЛПЦ - линейные пассивные цепи - пассивные обратимые (взаимные) цепи, состоящие из конечного числа элементов с постоянными (не изменяющимися во времени) параметрами.

Из анализа цепей известно, что входной импеданс между двумя любыми точками ЛПЦ можно представить отношением двух полиномов

                                      (19.1)

где - оператор или комплексная частота.

Функция типа (19.1) называется рациональной функцией комплексного переменного s. Математически Z(s) – аналитическая функция.

Для физически реализуемой цепи полиномы числителя и знаменателя

в (19.1) имеют вещественные коэффициенты.

Доказательство. z(s) есть преобразование Лапласа от импульсной характеристики цепи z(t) ( импульсная характеристика - это реакция цепи на единичный импульс Дирака, переходная характеристика - реакция цепи на скачок напряжения - функцию Хевисайда):

                                                              (19.2)

Поскольку z(t) - физическая реализация, она является вещественной функцией времени. Следовательно z(s)вещественная функция оператора s и все её параметры вещественные числа. В математике z(s) называется аналитической функцией.

Немного об s (или p=s +jw ). Это – с одной стороны оператор d/dt, с другой стороны, если проведем преобразование Лапласа и получим решение в частотной области, то получается, что .

Определение и критерий пассивности

Определение пассивности. Линейная цепь пассивна тогда и только тогда, когда

а) полная энергия, подведенная к цепи за время от t=0 до t=µ , неотрицательна при любой форме токов и напряжений, действующих на её зажимах,

  1. до включения воздействия при t<0 напряжения и токи тождественно равны 0.

Положительная вещественная функция:

  1. z(s) вещественна при вещественном s.
  2. Re z(s) ³ 0 при Re s ³ 0.

Теорема. Полный импеданс пассивной цепи является положительной вещественной функцией.

Можно доказать и обратное: любая положительная вещественная функция может быть реализована как импеданс линейной пассивной цепи.

Пример. Функция является положительной вещественной.

Критерий пассивности. Линейная цепь, характеризуемая полным импедансом z(s) – пассивна, если z(s) рациональная функция с вещественными коэффициентами и одновременно выполняются два условия:

1)цепь устойчивости при подключении единичного резистора R=1;

  1. вещественная часть импеданса неотрицательна на мнимой оси, т.е.

Re z(jw ) ³ 0 при -¥ < w < ¥ .

Второе условие означает, что мощность, поступающая в цепь в установившемся синусоидальном режиме, неотрицательна: .

Критерий устойчивости Михайлова
Линейная цепь порядка
n с комплексным (в общем случае) характеристическим полиномом H(s) устойчива тогда и только тогда, когда приращение аргумента годографа H(jw ) = Hв(w )+jHм(w ) на плоскости (Hв, Hм) при изменении w от -¥ до +¥ равно
np :

.                                     (19.3)

Если характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты, то годограф H(jw ) симметричен относительно оси абсцисс и можно ограничиться построением одной его половины 0<w <¥ . При этом поворот вектора уменьшается вдвое и для устойчивой цепи:

                                     (19.4)

Рис.19.1.Примеры годографов H(jw ) для устойчивых и неустойчивых систем. Условия устойчивости выполняются только в том случае, если годограф начинается на оси абсцисс и последовательно против часовой стрелки обходит n квадрантов, т.е. если Hв(0)>0, Hм(0)>0 и все корни при Hв(w )=0, Hм(w )=0 вещественны и перемежаются

Главный вывод из критерия Михайлова: cтаршие степени (т.е. порядки) полиномов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу [доказательство от противного].

 Пример

Рис. 19.2. П-образная схема активного четырехполюсника

Запишем Y-матрицу, пользуясь мнемоническим правилом (лекция 16):

            (19.5)

Обратная ей, Z-матрица Z=Y-1 имеет вид:

.      (19.6)

Видим, что все элементы Y и Z матрицы имеют степени s одного порядка и имеют вид отношения двух полиномов.

Нули, полюсы и собственные частоты линейных цепей.

Входной импеданс (19.1), после разложения полиномов числителя и знаменателя на простые сомножители записывается в виде:

                         (19.7)

Здесь A - постоянный коэффициент, - нули и полюсы импеданса.

Собственные частоты - это характеристические показатели экспоненциальных решений, которые определяют вид собственных (свободных) колебаний, происходящих в цепи после снятия внешнего воздействия. Собственные частоты являются корнями т.н. характеристических уравнений.

Составим характеристическое уравнение для двухполюсника.

Рис.19.2. К составлению характеристических уравнений цепи:
а) в режимах короткого замыкания и холостого хода;
б) при подключении резистора

 Рассматривая цепь как двухполюсник, запишем

, а после подстановки , получаем

.                                         (19. 8).

При коротком замыкании на входе , втекающий ток, однако, характеризующий собственные колебания в цепи, не должен быть равен нулю . Отсюда получаем характеристическое уравнение цепи при коротком замыкании на входе:

                    .                                                             (19. 9)

Если же входные зажимы разомкнуты, то , напряжение и получим характеристическое уравнение цепи при холостом ходе на входе

                                                             (19.10).

Для случая с сопротивлением R необходимо составить уравнение:

, подставив в который 
, получаем

            .                      (19.11)

Проведя здесь короткое замыкание на входе , получим характеристическое уравнение

            .                                             (19.12)

Если R=1 то приходим к следующему характеристическому уравнению

.                                     (19.13)

 

Корнями уравнения (19.9) являются нули       , уравнения (19.8) - полюсы       импеданса, а корнями уравнения (19.13) - и нули и полюса. Поэтому можно сказать, что решения характеристического уравнения - это и нули и полюса, характеризующие входной импеданс цепи.

Линейная пассивная цепь устойчива как при КЗ, так и при ХХ (этого нельзя сказать об активной цепи). Отсюда следует, что все нули и полюса z(s) могут быть расположены только в левой полуплоскости или, в крайнем случае, на мнимой оси.

Больше того, нули и полюсы на мнимой оси простые.

Примеры цепей, их нулей и полюсов.

Пример 1. Рассмотрим следующую функцию от комплексной частоты s:

                .                 (19.14)

(это коэффициент отражения, связанный с коэффициентом передачи)

Эта функция имеет все нули при s=0, и количество этих нулей равно 2N.

Все нули находятся в центре комплексной плоскости s.

Эта функция имеет также 2N полюсов, т.е. можно предложить 2N решений, когда функция обращается в бесконечность. Эти полюса располагаются на окружности единичного радиуса на угловом расстоянии p /N друг от друга:

.             (19.15)

При такой записи первые N корней расположены в левой полуплоскости, остальные - в правой. Такое распределение полюсов соответствует баттервортовской аппроксимации.

Пример 2. Если полином, формирующий полюса, имеет вид:

,                                                     (19.16)

[выражение-аналог (19.6) будет : ]

то это приводит к Чебышевской аппроксимации T1 , TN - полиномы Чебышева:

    , , , , , (19.17)

, и т.д.

Полином колеблется между предельными линиями ± 1, принимая значения ± 1 на границах интервала s=± 1 и в N-1 точке внутри него.

Каждый полюс в этом случае будет иметь несколько смещенную реальную часть и мнимую части от значения, соответствующего баттервортовской аппроксимации. Причем полюса расположены на эллипсе с полуосями sh (a), ch (a) и имеют координаты

    (19.18)

где . (19.19)

Рис.19. 3. Расположение полюсов при максимально плоской (а) и равноволновой (б) аппроксимациях 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: июля 17, 2000