На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS

 

Serenade

 

Harmonica

 

MOMENTUM

 

Microwave Explorer

 

Series IV

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы  

 

ЛЕКЦИЯ 20

 ПЕРЕХОД ОТ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ К СХЕМЕ ФИЛЬТРА

(АППРОКСИМАЦИЯ И РЕАЛИЗАЦИЯ)

Поскольку для произвольной линейной положительной цепи (ЛПЦ) порядки числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу [что аналогично тому, что z(s) есть отношение четного полинома к нечетному или наоборот], то можно записать:

                      (20.1)

Таким образом, z(s) имеет в нуле ( при s® 0) и в бесконечности (при s® ¥ ) либо нуль, либо полюс.

На мнимой оси (т.е. если подставить s=jw ) получается

,                                     (20.2)

где N’(w ) и D’(w ) - чисто вещественные функции (а мнимость знаменателя сосредоточена в j). Поскольку это очень важно, поясним еще так: в этом случае входное сопротивление всегда реактивное, т.е. имеет множитель j либо 1 / j = - j. Значит числитель и знаменатель чисто положительные функции.

Обратимся теперь к 1-му условию реактивности. Присоединим к z(s) резистор R=1 и исследуем характеристическое уравнение образовавшейся цепи

                    .                                 (20.3)

Согласно (20.2 ) вещественной и мнимой составляющей годографа H(jw ) являются полиномы N’(w ) и D’(w ), следовательно:

            .                                  (20.4)

Поскольку цепь устойчива, то по критерию Михайлова все корни N’(w ) и D’(w ) вещественны и перемежаются, причем число корней равно порядкам полиномов. Но тогда можно показать, что N(s) и D(s) имеют только простые перемежающиеся корни и , расположенные на мнимой оси. Комплексные корни вещественных полиномов встречаются только в комплексно-сопряженных парах, поэтому:

                            ( 20.5)

Используя теорему вычетов, разложим z(s) на простые дроби:

                     (20.6)

Каждое слагаемое в этом выражении соответствует одному полюсу; - вычеты в комплексно- сопряженных полюсах , в нуле и бесконечности.

Вычет в полюсе равен:

                         (20.7)

 Вычет является вещественным числом, поскольку представляет собой произведение двух вещественных сомножителей:

-первый содержит k-1 пару мнимых чисел в числителе и знаменателе,
-второй - комбинацию двух мнимых чисел
и .

Вычет в полюсе равен комплексно-сопряженному от только что полученного. Следовательно - также вещественное число.

Каноническая форма Фостера

Просуммировав слагаемые с комплексно-сопряженными полюсами, получим:

            . (20.8)

Этому входному сопротивлению соответствует каноническая цепь

        (20.9)

Синтез двухполюсников

 Итак, получив значения вычетов, мы можем представить z(s) в виде последовательных емкости, контуров и индуктивности. Если же мы рассматриваем проводимость y(s), то имеем т.н. дуальную цепь.

Рис. 20.1. Канонические 1-я и 2-я формы Фостера

Сравнив почленно два последних уравнения, находим

, , . (20.10)

Интересным свойством каждого из слагаемых (трех типов и ) является то, что их реактивные сопротивления как функции w везде имеют положительный наклон. Этим свойством обладает и вся сумма, поскольку производная суммы равна сумме производных.

Рис. 20.2.Частотные зависимости составляющих реактивного сопротивления и пример зависимости x(w ) для цепи 5-го порядка

 

Для полной проводимости (адмитанса) имеем разложение на простые дроби, аналогичные z(s):

         ,             (20.11)

где

,     , .             (20.12)

Эти две реализации Фостера дуальны, от 1-й реализации можно формально перейти ко 2-й и наоборот.

Используя формы Фостера поочередно, можно получить из заданной функции z(s) несколько канонических реализаций. Так, выделив одно или нескольких слагаемых и реализовав их по 1-й форме Фостера, получим в остатке реактансную функцию более низкого порядка. Её можно реализовать (частично или полностью) по 2-й форме Фостера и так до тех пор, пока не будет исчерпан остаток.

Как было показано, либо импеданс, либо адмитанс реактивной цепи имеют полюс в бесконечности. Если выделить соответствующий этому полюсу реактивный элемент L для z(s) или C для y(s), то остаток будет иметь нуль в бесконечности, а обратная ему величина - полюс в бесконечности, который можно вновь выделить. Поочередное применение этой процедуры дает лестничную реактивную цепь типа фильтра нижних частот (ФНЧ) - 1-ю форму Кауэра.

Математически процедура соответствует представлению z(s) или y(s) в виде цепной дроби

        .                     (20.13)

Пример 1.

Имеем .

 Необходимо реализовать эту функцию в виде 1-й формы Кауэра. Для этого делим:

Теперь меняем местами и делим знаменатель на числитель:

Рис. 20.3. Пример синтеза цепей по 1-й и 2-й форме Кауэра

Полученная реализация по 2-й форме Кауэра имеет лестничную структуру.

Почему называется каноническая? Потому, что количество реактивных элементов равно порядку цепи, т.е. наибольшему порядку полинома числителя и знаменателя (19.1).

Число канонических реализаций конечно и увеличивается с увеличением порядка цепи.

Можно предложить бесконечное число неканонических реализаций. Обычно применяемый для этой цели прием иллюстрируется следующей схемой:

 

Рис. 20.4. Неканоническая форма реализации по Кауэру

Здесь цепь имеет тот же импеданс, что и примере. Однако при реализации по Кауэру на втором шаге выделяется не весь полюс в бесконечности C=2/3, только его часть, например, половина C=1/3. Оставшаяся цепь реализуется по 2-й форме Кауэра.

Число элементов при неканонической реализации возрастает, но номиналы элементов могут оказаться технически более приемлемыми.

Связь реактансных функций с полиномами Гурвица

Полином Гурвица - это аналог характеристического полинома, но со специальными свойствами.

Теорема. Если H(s)= N(s) +D(s) - полином Гурвица, причем H(jw )=N’(w )+jD’(w ) , то отношение его вещественной и мнимой частей

            Z(jw ) = N’(w ) / jD’(w )             (20.14)

(или обратное отношение) есть реактансная функция Z(s) = N(s)/D(s).

Напомним, что реактансная функция - это та, у которой реальная часть равна 0 при всех вещественных частотах, т.е. она относится к цепи без потерь, чисто реактивной.

Мы уже говорили, что характеристическое уравнение, которое характеризует собственные частоты цепи, если к двухполюснику подсоединить сопротивление R=1 имеет вид

                        H(s) = N(s) +D(s) = 0                                         (20.15)

Значит, если цепь имеет такой характеристический полином, и цепь устойчива, то и Z(jw ) будет соответствовать реактансной функции.

Обратная теорема. Если Z(jw ) = N(s)/D(s) реактансная функция (причем дробь несократима), то H(s) = N(s) +D(s) полином Гурвица.

Из этих двух теорем вытекает одна:

Для того, чтобы полином H(s) был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы отношение его вещественной и мнимой частей при s=jw не содержало общих множителей и было реактансной функцией.

Из этой теоремы вытекает алгебраический критерий устойчивости, а также метод синтеза пассивной цепи по набору её собственных частот.

Критерий Ланшоца-Кауэра. Линеаризованная цепь с вещественным характеристическим полиномом n-порядка H(s) = N(s) + D(s) , где N(s) и D(s) - четная и нечетная части полинома (или наоборот) устойчива тогда и только тогда, когда разложение импеданса z(s) = N(s) / D(s) в цепную дробь содержит n- коэффициентов bi, и все они положительны:

                                                                 (20.16).

Пример. Проверим, является ли гурвицевым полином

            .

Выделим в H(s) нечетную N(s) и четную D(s) части и образуем импеданс

            .

Использовав стандартную процедуру разложения в цепную дробь, получаем

            ,, , , .

Все коэффициенты положительны, следовательно H(s) - полином Гурвица.

Рис. 20.5. Реализация цепи с постоянным сопротивлением

На рис. 20.5 показана цепь, синтезированная по заданному характеристическому полиному. 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: июля 17, 2000