На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS

 

Serenade

 

Harmonica

 

MOMENTUM

 

Microwave Explorer

 

Series IV

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы  

 

                                                       ЛЕКЦИЯ 21

ЛЕСТНИЧНЫЕ LC-ФИЛЬТРЫ С РЕЗИСТИВНЫМИ НАГРУЗКАМИ

В этой лекции мы рассмотрим алгоритм синтеза фильтров, синтезированных как согласующе-трансформирующие цепи с резистивными нагрузками. Это заключительный раздел, относящийся к синтезу пассивных цепей.

Метод синтеза основан на следующем алгоритме:

По заданным собственным частотам составляется характеристический полином H(s). Переменная s заменяется на jw и полином H(jw ) разделяется на вещественную и мнимую части. Их отношение (или обратная величина) рассматривается как входной импеданс реактивной цепи и реализуется одним из известных методов, например методом Кауэра.

Синтезированная реактивная цепь нагружается на резистор R=1. Результирующая цепь имеет характеристическое уравнение H(s) и, следовательно, заданный набор собственных частот.

Пример1. Пусть собственные частоты равны

.                         (21.1)

Составляем полином . (21.2)

Выделить вещественную и мнимую части вещественного полинома при s=jw - это то же самое, что выделить из (21.2) его четную и нечетную части. Их отношение дает входной импеданс реактивной цепи

.                                     (21.3)

Рис.21.1. Полюсно-нулевое распределение и 2 реализации фильтра

Синтез по заданному набору собственных частот

Мы уже рассматривали, как расположены нули и полюса при аппроксимации фильтра, реализованного как баттервортовский и как фильтр Чебышева.

Пример2. Напомним, что комплексные корни вещественного полинома встречаются в комплексно-сопряженных парах. Если это условие нарушено, то полином становится комплексным.

Пусть собственные частоты цепи равны s1,2= – 1
                    s3,4
= – 1 ± j (21.4)

Составляем полином

                 (21.5)

Рис.21.2. Полюсно-нулевое распределение и 2 реализации фильтра

Выделить вещественную и мнимую часть вещественного полинома при s=jw - это то же самое, что взять его четную и нечетную части. Их отношение дает входной импеданс реактансной цепи

            .                                     (21.6)

Реализуем цепь по 1-й форме Кауэра. Для этого следует представить z(s) в виде цепной дроби. Элементы Li, Ci получаются делением числителя на знаменатель z(s) с обращением остатка на каждом шаге: L1=1/4, C2=8/11, L3=121/100; C4 = 25/11. Синтезированная цепь показана на рис. 3.1.б. Она представляет собой соединение резистора R=1 и реактивной цепи z(s), имеющей вид ФНЧ.

Очевидно, что цепь, для которой функция z(s) является адмитансом y(s), обладает тем же набором собственных частот. Аналогичное разложение в цепную дробь приводит к лестничной цепи на рис. 3.1,в. Номиналы те же, но последовательные индуктивности заменены параллельными емкостями и наоборот.

Передаточные функции лестничных цепей

Рис.21.3. Цепь без потерь как цепь связи генератора с нагрузкой

Коэффициенты передачи по току и напряжению:

            ,                         (21.7)

где H(s) - характеристический полином цепи; FI, FU - полиномы, определяющие нули передачи.

Нули передачи соответствуют частотам, на которых последовательные элементы имеют разрыв, а параллельные - короткое замыкание.

Поскольку элементы ветвей LC- цепи являются цепями без потерь, то все нули и полюсы их иммитансов расположены на мнимой оси. Нули передачи могут находиться только на мнимой оси, включая точки s=0 и s® ± j¥ .

Вывод. Если лестничная цепь не имеет параллельных контуров в последовательных ветвях и последовательных контуров в параллельных ветвях, то её коэффициент передачи представим в виде

                ,                                         (21.8)

где J - кратность нуля передачи в нуле, равная суммарному числу последовательных емкостей и параллельных индуктивностей в схеме. Остальные N-J нулей расположены в бесконечности (N - порядок цепи).

 Связь между вещественной частью иммитанса и передаточной функцией.

Обратимся к рис. 21.3. Если потерь нет, то мощности на входе и выходе равны, их можно приравнять. Для источников тока и напряжения получаем:

        и .  (21.9)

Отсюда, с учетом нормализации по R

        и .                     (21.10)

Это означает, что вещественная часть входного иммитанса цепи без потерь с нагрузкой 1 Ом на всех частотах численно равна квадрату модуля её коэффициента передачи.

Пример 3. Провести синтез цепи по заданному коэффициенту передачи

                                                                 (21.11).

Решение.

                                     (21.12).

Заменив w 2 на -s2, получаем аналитическую функцию, имеющую заданную вещественную часть на мнимой оси:

                                                         (21.13).

Первым этапом этой задачи должно быть восстановление иммитанса Z(s) или Y(s), который для физически реализуемой цепи должен быть положительной вещественной.

Другими словами - необходимо осуществить аналитическое продолжение функции Re z(jw ) на всю комплексную плоскость. Т.е. найти такую {Re z(s)}, чтобы она на мнимой оси принимала значение Re z(jw ).

Логично предположить. Что решение неоднозначно. Решение однозначно только тогда, когда импеданс не имеет полюсов на мнимой оси. (Цепь, обладающая таким свойством, называется цепью минимального реактивного сопротивления).

Для произвольного комплексного числа имеем

                                         (21.14).

Если z(s) - функция с вещественными коэффициентами, то z*(jw )=z(-jw ). Подставив это соотношение, получаем

                                                                                                     (21.15).

Точно также находим аналитическое продолжение функции

                                         (21.16).

Вернемся к примеру. Мы получили

.                                 (21.17)

Разложим эту функцию на простые дроби.

       (21.18)

Найдем вычеты. Они будут равны r1=2/3, r2=-1/3.

Эти четыре полюса расположены симметрично относительно начала координат. Согласно правилу Боде искомый адмитанс равен удвоенной сумме простых дробей в левой полуплоскости.

Рис. 21.4. Типичное расположение критических частот четной функции

Вернемся к примеру 3.

.         (21.18)

Представим импеданс z(s)=1/y(s) цепной дробью

.

Рис.21.5. Фильтр с пассивной единичной нагрузкой

Определяем элементы L=3/2, C=1/3, R=1, используя общую процедуру синтеза цепей связи лестничного типа.

Пример 4. Синтезировать цепь, все нули коэффициента передачи которой расположены в бесконечности,  полюса - при s=± 1, s=± 2,  а максимум GТ=1.

1 этап. Определение GТ(w )

Заданием полюсов определяется знаменатель функции

                D(s) = (s+1)(s+2)(s-1)(s-2)=s4–5s2+4.                     (21.19)

Константу в числителе выберем так, чтобы максимум GТ(w ) был равен единице.

Поскольку максимум функции имеет место при w =0, получаем

                                     (21.20).

2-й этап. Определение квадрата коэффициента отражения.

(21.21).

Как видим, полюсы r 2 совпадают с полюсами GТ(s).

 3-й этап. Выделение r 1(s) из r 2 .

Нули r 2 должны быть поделены поровну между r 1(s) и r 2(s), причем так, чтобы l 1k= –l 2k. Для определенности примем l 1,0 = 0 и l 1,1= –Ö 5, т.е. нуль r 2 в левой полуплоскости.

Учитывая, что полюса r 1(s) лежат в левой полуплоскости, получаем

.                         (21.22)

4-й этап. Определение zвх(s).

. (21.23)

5-й этап. Синтез по методу Кауэра.

Представим zвх(s) в виде цепной дроби

. (21.24)

Находим элементы цепи:

L1=0,5(3+Ö 5)=2,236

C2=0,5(3-Ö 5)=0,764

R2=1.

Рис.21. 6. Окончательная реализация фильтра, расположенного между пассивными нагрузками

На этом мы заканчиваем раздел, посвященный синтезу фильтров. Теперь, можно надеяться, Вы будете осмысленно работать на программах типа MMICAD Syntesis и FaiSyn, выбирать аппроксимацию, порядок фильтра, получать и редактировать элементы низкочастотного прототипа и реализацию в виде дискретных или распределенных элементов фильтра.

 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: июля 17, 2000