На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS

 

Serenade

 

Harmonica

 

MOMENTUM

 

Microwave Explorer

 

Series IV

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы  

 

    ЛЕКЦИЯ 3     ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ СВЧ

Передача мощности, несущей сигнал по трактам, осуществляется по передающим линиям. Передающие линии – это не только двухпроводные линии, коаксиальные кабели, волноводы, но и более сложные устройства - микрополосковые, щелевые и др., которые весьма существенно отличаются от двухпроводной. Во многих линиях токи и напряжения недоступны для измерения, но в электрическом отношении линии довольно сходны. Поэтому при рассмотрении волноводов (и других передающих линий, таких, как микрополосковая, полосковая, с подвешенной подложкой и др.) можно пользоваться понятиями и методами, применимыми при исследовании обычных двухпроводных линий. Выделим небольшой отрезок двухпроводной линии:

Рис.3.1. Длинная линия и её эквивалент на единице длины (ячейка). Поскольку Z=R+jL то на самом деле Z= z/ x (погонное сопротивление), то для небольшого отрезка линии D z=ZD x.

Предположим, что напряжения и токи описаны в виде их комплексных амплитуд (что предполагает, что они синусоидальные)

                                                   (3.1),

где I - комплексная амплитуда. Метод комплексных амплитуд предполагает, что расчеты выполняются только с комплексными амплитудами.

Зададим малый элемент передающей линии dx. Изменение напряжения вдоль линии dU/dx равно произведению полного сопротивления на единицу длины на ток I:

                                       .                                     (3.2)

(знак “ - ” означает, что напряжение уменьшается). Поскольку Z - это изменение полного сопротивления на единицу длины, т.е. Z= z/ x и для дискретного изменения D z=ZD x.

Изменение тока dI/dx вдоль линии равно произведению шунтирующей полной проводимости Y на единицу длины на напряжение U:

                                                                                      (3.3)

Возьмем производные по x (3.2) и (3.3) и сделаем подстановки одного в другое:

                                                         (3.4)

                                                          (3.5)

Здесь ввели обозначения g 2=ZY, откуда ,

                                                     (3.6)

где R, L, G, C - сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость на единицу длины.

Дифференциальные уравнения можно рассматривать как уравнения распространения волн, в данном случае волн напряжения и волн тока. Эти дифференциальные уравнения второго порядка имеют решения вида:

                                 (3.7)

                                 (3.8)

где I(x) и U(x) - ток и напряжение в точке x линии, а через обозначены произвольные постоянные, значения которых могут быть определены из граничных условий. Например, I+ и Iамплитуды волн тока, распространяющихся воль линии в положительном и отрицательном направлениях x.

Дифференцируя уравнение (3.7)

                                                      (3.9)

и комбинируя с , получим

                     (3.10)

благодаря чему мы уменьшаем количество неизвестных.

В этих уравнениях:

g - постоянная распространения, включающая постоянную затухания и фазовую постоянную:                                                                                                            . (3.11)

Z0 - характеристическое сопротивление линии

                                                          (3.12)

Итак, величины Z0 и g являются параметрами линии, и в решении (3.7 – 3.8) остались только 2 неизвестных - модуль падающей и модуль отраженной волны

                                                                  (3.13)

                                                    (3.14)

Как найти эти неизвестные коэффициенты?

Из граничных условий, которые обусловлены сопротивлением нагрузки и генератора. Т.е. нужно на одном конце линии поставить сопротивление нагрузки, а на другом - генератор.

Рассматривая (3.13) и (3.14) можно сказать, что первое слагаемое I(x), - это есть волна, распространяющаяся в положительном направлении, (поскольку его модуль уменьшается по направлению x), а   - волна, распространяющаяся в отрицательном направлении.

Рис.3.2. Изменение модуля комплексной амплитуды вдоль линии

Остановимся пока и рассмотрим связь фазовой скорости и длины волны в линии.

Фазовая скорость и длина волны в линии

Величина g есть постоянная распространения рассматриваемого волнового процесса. Если перейти от комплексных амплитуд к временному процессу, получаем, например, для волны напряжения:

                                                                    (3.15)

Величина a обуславливает затухание волны, т.е. уменьшение амплитуды её вдоль оси x, а b - является фазовой постоянной.

Фазовая скорость волны, распространяющейся по линии, имеет смысл скорости перемещения оси “гребня” волны напряжения или другого волнового фронта, характеризующегося постоянством фазы волны. Из условия постоянства фазы следует записать

                                                                                .           (3.16)

Волна меняется во времени и от расстояния. Дифференцируя последнее выражение, , т.е выполняя , получаем                                                     (3.17)

Таким образом, фазовая скорость волны в самом общем случае определяется уравнением (скорость изменения точки x с постоянной фазой со временем t)

                    .                                   (3.18)

Фазовая скорость не обязательно равна скорости света в свободном пространстве. По определению длины волны, как пути, пройденного волной за период T, можно записать

,          (3.19)

где F - частота колебаний, Гц,

l в - длина волны при данной частоте в рассматриваемой передающей линии.

Сопоставляя последние два уравнения, получаем

                       .                                      (3.20)

Фазовая постоянная b часто называется продольным волновым числом.
Отметим в заключении, что в двухпроводных линиях распространяются поперечные электромагнитные волны TEM - типа. Эти волны:
-обладают только поперечными составляющими поля;
-не обладают дисперсией, т.е. фазовая скорость в ней не зависит от частоты;
- не имеют критической длины волны, и поэтому могут распространяться на всех частотах, включая постоянный ток.

***

Вернемся к анализу падающих и отраженных волн в двухпроводной линии. Нашей целью является получение коэффициента отражения и входного сопротивления такой двухпроводной линии.

Итак, в случае однородной длинной линии ток и напряжение в каждой точке можно представить в виде суммы падающей и отраженной волн:

                                                          (3.21)

где

                                                           (3.22)

Эти выражения можно переписать в виде

                                                      (3.23)

                                                    (3.24)

Далее заметим, что на нагрузочном конце падающие и отраженные волны определяют напряжения и ток в нагрузке (т.к. 3.23 и 3.2.4 относятся ко всем точкам линии, в т.ч. и к крайней точке, в точке нагрузки)

                                              (3.25)

                                              (3.26)

Отношение напряжения отраженной волны к напряжению падающей волны на нагрузке называется коэффициентом отражения и в сечении нагрузки равно

                                          (3.27),

где Г(0) означает, что коэффициент отражения измерен при l=0, т.е. на правом конце.

Подставляя это выражение в соотношения (3.25) и (3.26), получаем напряжение на нагрузке и ток в нагрузке:

             (3.28)

Деля первое уравнение на второе, получим соотношение между сопротивлением нагрузки и коэффициента отражения от нагрузки:

           , откуда                    (3.29)

Имея выражение напряжений и тока в нагрузке, запишем напряжения и токи в произвольном сечении линии: 

            (3.30)

                    (3.31)

По другому эти соотношения можно представить в виде:

      (3.32)

                                             .              (3.33),

 

Разделив U на I получим входное сопротивление линии в любом сечении

                                                        (3.34),

где - сопротивление нагрузки, нормированное к характеристическому сопротивлению линии передачи.

 

Пример 1. Если положить Zн=0, что означает короткое замыкание на конце линии (короткозамкнутый шлейф), то входное сопротивление такого шлейфа будет следующим образом зависеть от длины шлейфа:

                                                                         (3.35)

Пример 2. Если нагрузка представляет собой идеальное размыкание линии, то входное сопротивление будет следующим образом зависеть от длины линии:

Выражение для входного сопротивление положено в основу разработки такого мощного аппарата расчета схем СВЧ, как диаграмма Смита. 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: июля 17, 2000