На 1 страницу

         

Диаграмма Смита

  Touchstone

MMICAD

MMICAD LAYOUT

  Microwave Office

 LIBRA

Aplac

Sonnet

HFSS 

ADS

IE3D

FIDELITY

SERENADE

 MOMENTUM

Уравнения Максвелла  

Ряды Вольтерра  

  Метод моментов

  Динамический диапазон

  Мощность насыщения

Шумы 

 

Синтез СВЧ структур

 

 

 

index.htm

Р.Ф. Харрингтон

Расчет полей

методом моментов

(N. Y.- 1968)

   Предисловие

 

До появления высокоскоростных компьютеров, необходимо было предпринимать значительное усилие, чтобы перевести аналитические решения в форму, которая выполнила бы последовательное вычисление. Теперь часто более удобно использовать методы, которые являются аналитически простыми, но требуют больших объемов численных вычислений. Кроме того, много практических задач могут быть решены только при помощи таких методов. Из-за фантастической скорости и возможностей памяти современных компьютеров, почти любая задача линейного анализа может быть решена до некоторой степени точности. Фактически, компьютерные программы могут быть написаны в любых классах задач, как, например, проводников произвольной формы с произвольным возбуждением и нагрузками (Глава 4).

Эта монография пытается представлять объединенный подход к численному решению задач поля. Методы общие, применяемые к полям любого типа, но примеры взяты из электромагнитной теории. Материал вводится прежде всего приложением теории, и читатель не должен ожидать найти строгие доказательства и теоремы. Для этого даются ссылки. Надеемся, что этот подход даст возможность читателю изучить различные методы за минимальное времени. Кроме того, так как подробности решения очень меняются от задачи к задаче, только многими примерами можно достигнуть понимание, необходимое, чтобы обрабатывать новые задачи. Имеется искусство для выбора хорошего решения, и это искусство получается опытом.

Основная концепция объединения для данной работы - метод моментов. Это - очень общая концепция, и почти любое решение, аналитическое или численное, может интерпретироваться им. Например, классический подход собственной функции соответствует специфическому выбору собственных функций для разложения и тестирования (испытания). Вариационный метод Релея-Ритца и метод Галеркина близко связаны с этим методом. Автор убежден, что метод момента, приближенный к точке зрения функциональных пространств и линейных операторов, - лучший способ представления общей теории. Частные случаи тогда интерпретируются в пределах этой общей теории.

Текст разделен на две основные части, одна детерминированные задачи и другая - задачи о собственных значениях. Глава 1 обсуждает метод моментов и различные приближения к нему, которые являются согласованными. Глава 2 использует некоторые из них для электростатических задач. Глава 3 для некоторых двумерных полевых задач, и Главы 4 для трехмерных задач проводных антенн и рассеивателей. Глава 5 обсуждает общую формулировку электромагнитных задач в терминах обобщенных параметров цепей. Глава 6 рассматривает многопортовую задачу, то есть структуры, имеющие несколько портов для возбуждения, измерения, и нагрузки. Глава 7 обсуждает задачу о собственных значениях согласно методу моментов, используя неоднородную линию передачи как пример. Глава 8 применяет эти методы к волноводам произвольного поперечного сечения, и Главы 9 к резонансным полостям, содержащим произвольные носители. Заключительная глава рассматривает задачи оптимизации, и показывает случаи, когда это приводит к задаче о собственных значениях.
Теория лучше выражается на языке линейных функциональных пространств, но попытка была сделана минимизировать ее использование. Концепции, которые необходимы, определены и иллюстрируются на примерах. Резюме общей структуры векторных пространств дается в Приложении.

 

ГЛАВА 1

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

1-1. Введение

1-2. Формулировка задачи

1-3. Метод моментов

1.4. Согласование в точках

1-5. Разложение по базисным функциям

1-6. Операторы аппроксимации

1-7. Расширенные операторы

1-9. Вариационная интерпретация

1.10. Решение методом возмущения

 

ГЛАВА 1

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

 

 

1-1. Введение

Использование высокоскоростных компьютеров не только позволяет выполнить большой объем вычислений, но это делает реальными решения, слишком скучные для ручного вычисления. В прошлом большом усилии применялись, чтобы аналитически получать решения в формы, которые уменьшили бы вычисления. Теперь часто более удобно использовать машину, чтобы уменьшить работу с аналитическими выражениями. Методы приближенных решений, которые когда то считали важными, переоценивают, т.к. точность компьютеров возросла настолько, что они являются для большинства целей и дают точные ответы. Они также разрешают выполнение задач, не разрешимых точными методами.

Этот текст был написан, чтобы обеспечить единый подход к матричным методам для решений задач поля. Основная идея состоит в том, чтобы привести функциональное уравнение к матричному уравнению, и затем решать матричное уравнение известными методами. Эти концепции лучше выражаются на языке векторных пространств и операторов. Однако, не требуется, чтобы читатель имел предшествующее знание этой теории, потому что мы определим и будем пояснять концепции, по мере того, как они вводятся. Краткое резюме векторных пространств и операторов дается в Приложении A. Детальные описания могут быть найдены в многих учебниках [1-3].

В этой главе мы рассматриваем уравнения неоднородного типа

(1-1)

где L - оператор, g - источник или возбуждение (известная функция), и f - поле или отклик (неизвестная функция, которая должна быть определена). Под термином детерминированный мы подразумеваем, что решение (1-1) единственно; то есть только одна f связана с данным g. Задача анализа состоит в определение f когда L и g заданы. Задача синтеза состоит в определении L, когда f и g точно специфицированы. В этой книге мы рассматриваем только задачу анализа.

Эта глава представляет основные математические методы для сокращения функциональных уравнений к матричным уравнениям. Правило объединения для таких методов найдено в общем методе моментов, в терминах которых частные решения могут интерпретироваться. Мы рассмотрим детерминированно решенную задачу, и как она приводится к соответствующему матричному уравнению, поскольку решение дается матричной инверсией. Большинство компьютеров имеет подпрограммы, позволяющие выполнить матричную инверсию, которая является относительно простой операцией. Например, широко используемый метод Жордана Гаусса дается в Приложении B.

Примеры этой главы простые, выбранные, чтобы пояснять теорию без затуманивания смысла физическими концепциями или сложной математикой. Однако, когда эти методы применяются в практических задачах, процедуры не настолько просты. Подробности изменяются согласно типу задачи, и могут быть иллюстрированы только, обрабатывая ряд задач. По этой причине мы обрабатываем много частных задач в последующих главах. Надеемся, что эти примеры не только позволют читателю решить подобные задачи, но предложат расширения и изменения, чтобы обработать другие задачи. Хотя большинство примеров взято из электромагнитной теории, процедуры общие и относятся к задачам поля любого вида.

 

1-2. Формулировка задачи

Общие методы решения будут обсуждаться в системе обозначений векторных пространств и операторов, и следовательно конкретные задачи должны быть записаны в этой системе обозначений. Зададим детерминированную задачу в форме L (f)=g. Мы должны определить оператор L, его область (область, в которой действует функция f), и его диапазон ( следующий из работы функции g). Кроме того, мы обычно нуждаемся во внутреннем произведении <f,g>, который является скаляром, удовлетворяющим

(1-2)

(1-3)

, если (1-4)

, если

где и - скаляры, и * обозначает комплексное сопряжение. Мы иногда нуждаемся в примыкающем (adjoint) операторе и его области, определенном как

(1-5)

для всех f в области L. Оператор - само-примыкает (self-adjoint), если     и область     это также L.
Свойства решения зависят от свойств оператора. Оператор реальный, если реальный всякий раз, когда f реален. Оператор положительно определенный , если

(1-6)

для всех в его области. Он положительно определен, если > заменить на . В (1-6), отрицательно определенный, если > заменен на < в (1-6), и т.д. Мы будем опознавать другие свойства операторов, когда они необходимы.

Если решение существует и единственно для всех g, то обратный оператор существует такой, что

(1-7)

 

Если g известен, то (1-7) представляет решение результатной задачи. Однако, (1-7) - самостоятельное неоднородное уравнение для g, если f известен, и его решение - . Следовательно L и L-1 формируют пару операторов, каждый из которых - инверсия другого.

 

Мощные возможности, следующие из формулировки задач при использовании концепций векторных пространств обнаруживаются только с практикой, которая будет снабжаться многими примерами в следующих главах. Пока, позвольте нам рассматривать простой абстрактный пример так, чтобы математические концепции могли быть иллюстрированы без того, чтобы принести материальные концепции в изображение.

Пример. Зададим g(x) и найдем f (x) в интервале 0<x<1 удовлетворяющее

 

(1-8)

 

(1-9)

 

 

 

Это - краевая задача для которой:

(1-10)

Диапазон L - пространство всех функций g в интервале , который мы рассматриваем. Область L - пространство тех функций f в интервале , удовлетворяющим граничным условиям (1-9), и имеющих вторые производные в диапазоне L. Решение (1-8) не однозначно, если соответствующие граничные условия не включены. Другими словами, и дифференциальный оператор и его область требуется, чтобы определить оператор.

Подходящее внутреннее произведение для этой задачи

(1-11)

Легко показать, что (1-11) удовлетворяет постулатам (1-2) ... (1-4), как и требуется. Заметим, что определение (1-11) не однозначно. Например,

, (1-12)

где - произвольная весовая функция, также приемлемое внутреннее произведение. Однако, сопряженный оператор зависит от внутреннего произведения, которое может часто выбираться, чтобы делать оператор само- примыкающим.

Чтобы найти сопряженный (adjont) дифференциальный оператор, мы формируем левую сторону (1-5), и интегрируем по частям, чтобы получить правую сторону. Для нашей задачи

 

(1-13)

 

Последние члены - это члены, определяющие граничные условия, и область может быть выбрана так, чтобы они обратились в нуль. Первые граничные члены обращаются в нуль (1-9), и второй обращается в нуль если

 

 

(1-14)

Очевидно, что сопряженный оператор к (1-10) для внутреннего произведения (1-11) есть:

 

(1-15)

 

Поскольку и область является, тот же самой, как L, этот оператор само-сопряженный.

Также очевидно, что L является реальным оператором, так как Lf реальный когда f реален. L является положительным определенным оператором, что видно из (1-6) :

 

(1-16)

 

 

Заметим, что L - положительный определенный оператор даже если f комплексен.

Обратный оператор к L может быть получен известным методом функции Грина. Тогда

(1-17)

где G - функция Грина

 

(1-18)

Мы можем проверить, что (1-17) - инверсный оператор, формируя , дифференцируя дважды, и получая (1-8). Заметим, что никакие граничные условия не нужны на области , которая является характеристическим из большинства интегральных операторов. является само-согласованным, поскольку

 

 

(1-19)

 

 

Конечно, самосогласованность может также быть доказана прямо. Также следует это, является положительным определенной, поскольку L положительно определенная, и наоборот.

 

 

 

1-3. Метод моментов

Мы теперь обсудим общую процедуру для решения линейных уравнений, названую метод моментов [4,5]. Рассмотрим неоднородное уравнение

 

(1-20)

 

 

где L - линейный оператор, g известен, и f должен быть определен. Пусть f разложена в ряд функций в области L, так, что

 

(1-21)

 

где являются константами. Мы назовем базисными функциями или функциями разложения. Для точных решений (1-21) - обычно бесконечный ряд и формируют полную систему базисных функций. Для приближенных решений (1-21) - обычно конечная сумма. Подставляя (1-21) в (1-20), и используя линейность L, имеем

 

(1-22)

 

Принимаем, что соответствующее внутреннее произведение было определено для задачи. Теперь определим набор весовых функций, или испытательных функций, в диапазоне L, и возьмем внутреннее произведение (1-22) с каждым . В результате получаем:

 

(1-23)

где m = 1,2,3,... Эта система уравнений может быть написана в матричной форме

 

 

(1-24)

где

 

(1-25)

(1-26)

 

Если матрица несингулярна, обратная ей существует. Тогда даются как

 

 

(1-27)

 

и решение для f дано (1-21). Для краткого выражения окончательного результата, определим матрицу функций

 

(1-28)

(1-29)

 

Это решение может быть точным или приблизительным, в зависимости от выбора и . Частный случай выбора известен как метод Галеркина [6,7].

 

 

 

 

 

 

Если Вы хотите получить полное описание программы на русском языке, пошлите e-mail по адресу kurushin@mail.ru.
© 2000 СВЧ проектирование
Последняя модификация: февраля 04, 2002